Modellierung, Simulation und Optimierung

In vielen Anwendungsbereichen in Wirtschaft und Industrie geht es darum, bestehende Produkte und Verfahren sukzessive weiterzuentwickeln und zu verbessern. Neben der Anwendungserfahrung von Ingenieuren und Technikern sowie Versuchsreihen nach dem „Try and Error“-Prinzip kommen hier vorzugsweise Methoden der Mathematik und der Informatik zum Einsatz. Eine systematische Vorgehensweise besteht darin zunächst ein mathematisches Modell der interessierenden Fragestellung zu entwickeln („Modellierung“). Auf der Basis eines hinreichend genauen Modells können dann am Bildschirm „Was wäre wenn?“-Szenarien durchgespielt werden („Simulation“). Darüber hinaus kann ein geeignetes Modell anschließend auch zur Produkt- und Prozessoptimierung eingesetzt werden. Dabei wird das mathematische Modell von einem Softwarealgorithmus immer wieder ausgewertet, bis optimale Resultate bzgl. vorgegebener Qualitätskriterien erreicht sind („Optimierung“).

Der erste Schritt besteht also in der Bereitstellung eines geeigneten mathematischen Modells. Zur Entwicklung eines entsprechenden Modells können prinzipiell zwei Wege eingeschlagen werden:

  • Rigoroses Modell („First-Principles“-Modell) auf der Basis physikalischer, chemischer bzw. verfahrens­technischer Beziehungen. Beispielsweise liefern die Newtonschen Bewegungsgleichungen der Mechanik die grundlegenden mathematischen Beziehungen für die Bewegung von Massenpunkten. Entsprechend ergibt sich aus den Kirchhoffschen Regeln der Elektrotechnik das Verhalten von Stromkreisen. In beiden genannten Fällen führt die Modellierung auf gewöhnliche Differenzialgleichungen, die aus diesem Grund auch einen Schwerpunkt der Mathematikausbildung darstellen.
  • Empirisches Modell (z.B. Regressionsansatz, statistische Verfahren, neuronale Netze) unter Verwendung von Messdaten. Hierbei werden durch geeignete Softwareverfahren die mathematischen Modelle aus den Daten automatisch erzeugt.

Für die Lösung der Modellgleichungen im Rahmen von Simulationen und Optimierungen  kommen neben analytischen Methoden (d.h. „Lösung mit Papier und Bleistift“) insbesondere auch Methoden der numerischen Mathematik (d.h. Lösungen durch Computerprogramme)  sowie der Informatik und der Softwareentwicklung in Betracht.

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Andreas Pospiech, 07.09.2017